1. 伯努利方程  推导作用在风机叶片上的功率W和推力T(忽略摩擦阻力)。 由于受到风轮的影响，上游自由风速V0逐渐减小，在风轮平面内速度减小为U1。上游大气压力为P0，随着向叶轮的推进，压力逐渐增加，通过叶轮后，压力降低了ΔP，然后有又逐渐增加到P0(当速度为U1时)。

根据伯努利方程

H=1/2(ρv^2)+P…………(1)

ρ-空气密度  H----总压 根据公式(1)，

ρV0^2/2+P0=ρu^2/2+p

ρu1^2/2+P1=ρu^2/2+p

p1-p0=ΔP 由上式可得ΔP=ρ(V0^2-u1^2)/2………(2)

2. 运用动量方程，可得作用在风轮上的推力为: T=m(V1-V2) 式中m=ρSV,是单位时间内的质量流量。所以: T=ρSu(V0-u1) 所以:压力差ΔP=T/S=ρu(V0-u1)………(3)

S----风轮扫掠面积

3. 由(2)和(3)式可得:

4. u=1/2[(V0+u1)] ……………………(4)

5. 由(4)式可见叶轮平面内的风速u是上游风速和下游风速u1的平均值，因此，如果我们用下式来表示u。

u=(1-a)*V0  ------(5)

a 称为轴向诱导因子，则u1可表示为:

u1=(1-2a)*V0 ------(6)

轴向推力T和功率P可分别表示为:

T=ΔP*A    -----------------(7) 

P=ΔP*u*A  ------------------(8)

A----风轮扫掠面积

根据方程(2)，(3)和(6)可得:

T=2ρa(1-a) V0^2*A  -----(9)

P=2ρa(1-a)^2 * V0^3*A ----(10)

通过定义功率和推力系数:

CP=4a(1-a)^2-------- (11)

CT=4a(1-a) -------(12)

方程(9)和(10)可写成如下形式:

T=0.5ρV0^2*A*CT -------------(13)

P=0.5ρV0^3*A*CP -------------(14)

ρ是空气密度   标准状态下ρ=1.2928kg/m3  ，考虑到气温等因素，计算取ρ=1.2kg/m3 

P=0.6*V0^3*A*CP

对方程(11)求极值

∂Cp/∂a=4(3a2-4a+1)=0 ----------(15)

求得 a=(2±1)/3=1或1/3 根据公式(6)，a<0.5 所以a=1/3时，Cp有极大值 (Cp)max=16/27≌0.59 -----(16)

当a=1/3时，Cp值最大0.592593(贝兹极限)。

实际的风力机是达不到这个理想数据的，各种形式的风轮接受风力的风能利用系数是不同的，阻力型风力机的风能利用系数较低，升力型风力机的风能利用系数较高。风力发电机组除了风轮的风能利用系数外，还有机械传动系统效率、发电机效率等，这些效率的乘积就是风力发电机的全效率。

根据国家标准，把风力发电机组的分为5级，按年平均风速10 m/s、8.5 m/s、7.5 m/s、6 m/s四种风速和特殊设计风速一个（本处设为13 m/s），再增加停机风速20 m/s和起动风速3 m/s共七个风速来计算单位面积（每平方米）的风功率与风压，计算所得数据填于下表：

根据前面两表可由所需发电功率估算出风力机所需的扫风面积，例如200W的升力型垂直轴风力发电机工作风速为6m/s，全效率按25%计算所需扫风面积约为6.2m2,如果工作风速为10m/s则所需扫风面积约为1.4m2即可；例如10kW的升力型垂直轴风力发电机工作风速为10m/s，全效率按30%计算所需扫风面积约为56m2,如果工作风速为13m/s则所需扫风面积约为25m2即可。按高风速设计的风力机体积小成本相对低些，但必须用在高风速环境，例如把一台设计风速为10m/s的风力机放在风速为6m/s的环境工作，其功率会下降80%；按风速6m/s设计的风力机风轮会很大，虽在6m/s时运行很好，但遇大风易超速损坏电机，为抗强风时需增加结构强度使成本大大增加。

http://www.360doc.com/content/14/0107/17/12109864_343374370.shtml

https://www.docin.com/p-604558369.html

2.风力发电机的旋转 1. 中的公式推导是基于以下假设:力矩保持线性，没有旋转发生。然而，风机叶片是通过作用在其上的扭矩Q来吸收风能的，根据牛顿第二定律，由于风的作用，风机叶片是旋转的。

U1=2ωrab ------(17)

ω: 叶轮角速度  a：轴向诱导因子  b: 切向诱导因子 

作用在环素dr上的力矩为:  t？

dQ=mutr =(ρu*2πrdr)utr =2πr^2ρu*utdr ------(18)

m-----通过环素的质量流 相应的功率为: u=(1-a)*V0

dp= *dQ ------------(19)

用a,b和方程(18)可以写出

dp=4πr^3Ρv0ω^2(1-a)bdr ---------------(20)

叶轮吸收中的总功率为: t？R？

W=4π(V0/λ2R2) ρ∫0R(1-a)btr3dr --------------(21)

尖速比λ(r)=V0/ωr ------------(22)

如图(2)，诱导因子分别给V0和ωr一个诱导速度，并且产生一个相对速度V，因为假设的是无摩擦流动，诱导速度必定垂直于V，a和b并不是独立的，有以下关系:

〔bωr〕/[aV0]=[V0(1-a)]/[ ωr(1+b)] -----(23)

λ(r)=V0/ωr ----(24)

由以上两式可得:

a(1-a) λ^2(r)=b(1+b)----- (25)

 对于小的尖速比λ(r)来说，叶片转速相对风速来说较大，这时切向诱导系数b几乎可以忽略，轴向诱导系数几乎达到了0.333，对于大的尖速比λ(r)，尾涡的影响较大，最大功率输出时,a减小到0.25。 理想的高速风机(无摩擦)其风能利用系数可达到贝兹极限(Cp=0.593)，然而低速风力机如多叶片风机由于尾涡的影响其理论Cp值不会超过0.30。

https://haokan.baidu.com/v?vid=6028633385636325209

设风速v空气密度ρ发电机扇叶半径R t时间内打到扇叶上的空气质量m=ρπR^2Vt,扇叶获得的能量E=1/2mv^2=1/2ρπR^2V^3t

P0=E/t=1/2ρπR^2V^3设发电机效率η风力发电机的发电功率P=1/2ηρπR^2V^3

~~~~~~~~~~~P=0.5ρV0^3*A*CP

公式： P=½A*V³*Cp*ρ*η ，也可以简单的写成： P=½ρ*A*V³*Cp 其中 P：功率 A：扫风面积 ，即A=½π*R²（π=3.14159，R为半径，即风叶长度） V：风速 Cp：一种风能转化率值，根据贝兹极限，Cp值最高59%，但目前厂家无法达到这个理论值，根据厂家技术的不同，这个值不同，一般都做到20-30,40以上的很少。所以这个值也比较重要。 ρ：空气密度，随海拔升高而降低 η：系数

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

叶尖速比是用来表述风电机特性的一个十分重要的参数。风轮叶片尖端线速度与风速之比称为叶尖速比;叶片越长，或者叶片转速越快，同风速下的叶尖速比就越大。

Cp=Ct*λ?,λ(r)=V0/ωr,P=T*U

WECS中，风能利用系数与叶尖速比的曲线图得来：

风能利用系数=转矩系数*叶尖速比，Cp=Ct*λ.

转矩系数是叶尖速比的多项式函数，Ct=a6*λ^6+a5*λ^5+...+a1λ+a0,a0....a6的值可以在一些风力发电书籍，论文上查到，所以风能利用系数Cp也是叶尖速比的多项式函数Cp=a6*λ^7+.....a1λ^2+a0λ,进而可以通过一些软件，比如MATLAB等画出WECS的风能利用系数与叶尖速比的曲线图。

风能利用系数Cp为风力机将风能转换为机械能的效率，它与风速，叶片转速，叶片直径和桨叶节距角均有关系，是叶尖速比和桨叶节距角的函数。

贝兹理论是风力发电中关于风能利用效率的一条基本的理论，它由

贝兹理论:理想情况下风能所能转换成动能的极限比值为16/27 约为59%

推导过程如下:

v1 - 进入风速

v2 - 残余风速

ρ - 空气密度

s - 叶片扫风面积

P - 转换的动能

P0 - 风的初始动能

则叶片处单位时间内通过的风的质量 M =ρ*s*(v1+v2 )/2 -----式1

根据牛顿第二定律，叶片吸收的动能等于风残余动能与风初始动能之差，于是得到:

P = (1/2)*M*(v1^2 - v2^2)-----式2

将式1带入式2得到:

P = (ρ/4)*(v1^2 - v2^2)*(v1+v2)*s

由风能的基本计算公式可知

P0 = (ρ/2)* v1^3*s

则有:

P/P0 = (1/2)*(1+v2/v1)^2)*(1-(v2/v1))

由此可见 P/P0 为 v2/v1 的三次函数，求导得两个驻点，分别为1/3和-1，由于v2/v1为正，故:

当 v2/v1 = 1/3 时

P/P0 为最大值 16/27

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